domingo, 9 de junio de 2013

ECUACIONES




2º DE ESO. TEMA 8: ECUACIONES DE 1º GRADO

PROGRAMACIÓN DEL TEMA


Ses.

Metodología

/
- Corregir ejercicios de la sesión anterior.
- Explicar el concepto de ecuación, elementos y nomenclatura.

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- Explicar ecuaciones equivalente y cómo obtenerlas.
- Resolver ecuaciones sencillas.
- Ejercicios 1 a 30 de la hoja fotocopiada.
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- Corregir sesión anterior

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- Corregir sesión anterior.
- Pasos para resolver una ecuación.
- Ejercicios 31 a 50 de la hoja fotocopiada.
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- Corregir sesión anterior.
- Ejercicios 51 a 60 de la hoja fotocopiada.
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- Corregir sesión anterior.
- Ejercicios: Pág. 149 (1 a 20).
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- Corregir sesión anterior.
- Ejercicios: Pág. 156 (62 a 100, sólos los pares).

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- Corregir sesión anterior.
- Resolución de problemas con ecuaciones.
- Ejercicios: Págs. 157 a 159 (Problemas: 148 a 150, 165, 173 a 177).
/
- Corregir sesión anterior.
- Estudio y repaso.





DESARROLLO DEL TEMA


TEMA 8: ECUACIONES DE 1º GRADO

Ecuación: Una ecuación es una igualdad que se cumple para ciertos valores de las letras que intervienen en la ecuación.

2x + 1 = 7(x = 3).3x + 7 = 1(x = -2).

Diferencia entre ecuación e identidad: Una identidad es una igualdad que se cumple siempre, sea cual sea el valor que se les de a las letras que forman las expresiones de la igualdad.

3a + 2a = 9a – 4a.(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy

Variables: Las letras que hay en una ecuación (también se llaman incógnitas y se emplean las últimas letras del abecedario, generalmente, x, y).

Coeficiente: Número que va delante de la incógnita y la multiplica (el 1 no se pone).

Grado de la ecuación: El mayor de la incógnita (el mayor exponente de la incógnita).

3x + 1 = 7 es de 1º grado. 2x2 - 3x = 5x + 2 es de 2º grado.

Miembros de una ecuación: Cada una de las expresiones que hay a cada lado de la igualdad.

3x + 1=2x + 5
1º miembro2º miembro

Términos de una ecuación: Los sumandos que forman las ecuaciones.

3x + 1 = 2x + 5(términos en x: 3x, 2x; términos independientes: 1, 5)

Ecuaciones equivalentes: Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución.

3x + 1 = 7(x = 2)4x – 3 = 5(x = 2)

Obtención de ecuaciones equivalentes: Se obtiene una ecuación equivalente a otra sumando, restando, multiplicando o dividiendo a los dos miembros de la ecuación un mismo número.


Resolver ecuaciones: Es encontrar el valor de x que cumple la igualdad.

a ) Ecuaciones del tipo x + a = b(x + 3 = 7)

Se pasa la a al segundo miembro, cambiada de signo.

x + 3 = 7x = 7 - 3x = 4
x - 5 = 2x = 2 + 5x = 7
x + 6 = 2x = 2 - 6x = -4



b) Ecuaciones del tipo ax = b(3x = 6)

Se pasa la a al otro miembro dividiendo.

3x = 6x = 6/3x = 2
4x = 12x = 12/4x = 3
-2x = 8x = 8/(-2)x = -4

c) Ecuaciones del tipo x/a = b(x/3 = 4)

Se pasa la a al otro miembro multiplicando.

x/3 = 4x = 4 · 3x = 12
x/2 = 7x = 7 · 2x = 14
-x/4 = 3-x = 3 · 4-x = 12x = -12



MÉTODO PARA RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1.- Quitar denominadores multiplicando a todos los términos por el mcm de los denominadores que haya.

2.- Quitar paréntesis aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o resta (cuidado con los signos menos delante de los paréntesis).

9x – 12(x – 1) = 8x + 1à9x – 12x + 12 = 8x + 1

3.- Transponer términos semejantes pasando los términos en x al primer miembro y los independientes al segundo, cambiando de signo si se pasa de miembro. [No necesariamente las x han de pasar al primer miembro, también pueden ir al segundo y los independientes al primero, pero esto daría lugar a frecuentes equívocos al alumnado, sobre todo con los signos]

9x – 12x + 12 = 8x + 1à9x – 12x – 8x = 1 - 12

4.- Reducir términos semejantes realizando las sumas indicadas. [Aunque son sumas y restas, en definitiva son únicamente sumas, porque recordemos que la resta es sumar al minuendo el opuesto del sustraendo]

9x – 12x – 8x = 1 – 12à-11x = -11

5.- Despejar la incógnita pasando el coeficiente de la misma al otro miembro como divisor.

6.- Realizar la división o, si no fuera exacta, simplificar si se puede. [No se acostumbra a dar respuestas con números decimales, sino con fracciones si la división no es exacta]


[NOTA: Lo remarcado de amarillo ha de aprenderse al pie de la letra, porque lo voy a preguntar a cero o a diez. Esto significa que si está igual te pongo un 10, pero si falta algo, te pongo un cero. Se trata, en definitiva, de ejercitar la memoria].

Ejercicios resueltos:
3x + 3 = -153x = -15 - 33x = -18x = -18/3x = -6.
2x - 3 = 3x - 72x - 3x = -7 + 3-x = -4x = -4/(-1)x = 4.



Resolución de Problemas con ecuaciones de 1º grado: En este curso utilizaremos ecuaciones de 1º grado para resolver problemas numéricos, de edades y geométricos.

a) Problemas numéricos: Son problemas en los que hay que hacer cálculos con sumas o restas de números, números consecutivos, números pares o impares, dobles, triples, etc. En este tipo de problemas uno de lo números siempre se identifica con x y los otros números se definen en función de los datos que haya en el problema.

Ejemplos:
- Si dos números suman 9, uno será x y el otro 9 – x.
- Si la diferencia de dos números es 4, uno será x y el otro 4 + x.
- Los números consecutivos se diferencian uno de otro en una unidad: si un número es x, su consecutivo será x + 1.
- Los números pares siempre son 2x y los impares pueden ser 2x – 1o bien 2x + 1.
- El doble de un número es 2x, la mitad de un número es x/2.

Problema: Halla dos números consecutivos cuya suma es 87.

Es indispensable colocar los datos que nos han dado en una columna, a la izquierda, con el planteamiento de los datos en función de la x, de la incógnita.

nº 1:x = 43x + x + 1 = 87;2x + 1 = 87;2x = 86;x = 86/2;x = 43.
nº 2: x +1 = 44

¡OJO! La respuesta muchas veces no es la x, sino que hay que calcularla en la columna de los datos del planteamiento del problema. Por ejemplo, en el problema anterior podíamos haber hecho un planteamiento de los datos de esta manera:

nº 1:x = 44
nº 2: x -1 = 43.
Solución:x + x - 1 = 87;2x - 1 = 87;2x = 88;x = 88/2;x = 44.

Como se aprecia, los dos números que nos han salido son iguales en los dos planteamientos, pero no así la x. De ahí la importancia de una buena asignación de datos y comprender que la respuesta no es la x, que en este caso no coincide en ambos planteamientos, sino que es el resultado de sustituir la x en el planteamiento de datos que hayamos hecho.

b) Problemas de edades: En este tipo de problemas suelen hacerse comparativas entre edades actuales y edades pasadas o futuras. La incógnita, x, habrá que asignarla a veces a alguna de las edades y otras veces al tiempo que haya pasado o que falte por transcurrir. Es fundamental considerar que el tiempo pasa igual para las dos personas que se comparen. Ayuda mucho realizar una tabla y escribir en las casillas correspondientes los datos en función de x. (Realizar la tabla)

Problema: Un padre tiene 28 años y su hijo, 7 años. ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que la edad del padre sea doble de la del hijo?

Solución: Aquí hemos de asignar la incógnita (x) al número de años que han de pasar. Colocamos los datos en una tabla como ésta:


Actual
Después
(tras x años)
Padre
28
28 + x
Hijo
7
7 + x


Planteamiento de la ecuación: Para plantear la ecuación cogemos la segunda columna de la tabla:

Tras x años, la edad del padre (28 + x) será (=) el doble de la del hijo [2(7 + x)]:

28 + x = 2(7 + x)

Resolvemos la ecuación y nos da que x ha de ser igual a 14 años.

c) Problemas geométricos: En los problemas geométricos se hace necesario un dibujo de la figura que nos pidan y asignar en él los datos que nos den, adjudicando la incógnita (x) al dato desconocido.

Problema: El perímetro de un rectángulo, cuya base es el doble de su altura, mide 18 cm. ¿Cuánto miden sus lados?

Solución: Dibujamos un rectángulo y ponemos en él los datos que nos han dado, que son:

- altura = x cm
- base = 2x cm

P = 2(x + 2x)>18 = 2x + 4x>18 = 6x>x = 3.

La respuesta es: La altura mide 3 cm y la base mide 6 cm

martes, 18 de enero de 2011

Matemáticas del 1º Ciclo de la ESO








ÍNDICE DE 1º DE ESO






ÍNDICE DE 2º DE ESO










DESARROLLO DE LOS TEMAS DE 1º DE ESO


DE ESO. TEMA 4: LAS FRACCIONES
PROGRAMACIÓN


Sesiones

Metodología

/
- Explicar concepto de fracción, los 3 significados de una fracción.
- Fracción propia e impropia.
- Signo de una fracción. Representación gráfica de las fracciones.
- Ejercicios pág. 69 (1 a 5 y 7 a 9).
/
- Corregir sesión anterior.
- Fracciones equivalentes, cómo saber si dos fracciones son equivalentes, obtención de frac. equivalentes (Propiedad fundamental de las fracciones), simplificar fracciones.
- Ejercicios pág. 71 (10 a 12 y 15 a 16).
/
- Corregir sesión anterior.
- Recordar procedimiento cálculo mcm.
- Explicar reducción frac. a común denominador.
- Ejercicios pág. 71 (13 y 14) y 76 (45).
/
- Corregir sesión anterior.
- Explicar suma y resta de fracciones.
- Ejerc. pág. 73 (17 a 24).
/
- Corregir sesión anterior.
- Explicar producto de fracciones.
- Ejerc. pág. 75 (25), 77 (55, 56, 66 y 68), 78 (82 a 84).
/
- Corregir sesión anterior.
- Explicar división de fracciones.
- Ejerc. pág. 75 (26 a 30), 77 (57 a 60).
/
- Corregir ejercicios de la sesión anterior.
- Problemas. Ejercicios pág. 80 (105 a 107 y 110 a 113)
/
- Corregir ejercicios de la sesión anterior.
- Estudiar
/
- CONTROL.


1º DE ESO. TEMA 4: LAS FRACCIONES

DESARROLLO DEL TEMA


Fracción:
            Una fracción consta de dos números enteros dispuestos de esta forma:
            a  es el numerador e indica las partes que se toman.
            b  es el denominador e indica las partes en que se divide la unidad (b ≠ 0).
            Así, por ejemplo, en la fracción  el denominador, 4, indica que la unidad se divide en 4 partes iguales y de ellas se toman las que indica el numerador, 3 .

Significados de una fracción:
           
a) Como una parte de la unidad: Se divide a la unidad en tantas partes iguales como indica el denominador y se toman las partes que indique el numerador.
             
            b) Como una división: El numerador es el dividendo y el denominador es el divisor.
            c) Como un operador: Cuando hay que hallar la fracción de un número, se multiplica la fracción por el número (se multiplica el numerador por el número y se divide el resultado entre el denominador).

Clases de fracciones:
a) PROPIA: Si el numerador es menor que el denominador:    

b) IMPROPIA: Si el numerador es mayor que el denominador:
(Las calculadoras suelen representar este tipo de fracciones como un número mixto: , que consta de parte entera –el resultado entero de dividir el numerador entre el denominador- y una fracción –cuyo numerador es el resto de la división anterior y el denominador es el mismo de la fracción).
c) UNIDAD: Si el numerador es igual que el denominador:



Signo de una fracción: Como la fracción es una división,

a)      Si los dos términos tienen el mismo signo, el resultado es positivo.

b)      Si tienen distinto signo, el resultado es negativo.
      

Si una fracción es negativa, el signo menos se escribe delante de la fracción y nunca en el numerador ni mucho menos en el denominador.

Representación gráfica de fracciones:


Las fracciones se pueden representar en una recta numérica.

a) Si es una fracción propia, se divide la unidad en las partes que indique el denominador y se marcan las que indique el numerador.


b) Si es una fracción impropia, se transforma en número mixto, se marcan las unidades de la parte entera y la siguiente unidad se divide en las partes que indique el denominador, marcando en esta última unidad lo que indique el numerador del número mixto.

 

Las fracciones impropias también se pueden representar dividiendo las diversas unidades de la recta numérica en las partes que indique el denominador y marcando desde el cero tantas como indique el numerador. Así, para representar vamos dividiendo desde el cero las unidades en cuatro partes hasta obtener 10 de ellas:
 


Fracciones equivalentes:

            Son las que tienen el mismo valor.
Cómo saber si dos fracciones son equivalentes:

            a) Si al dividir el numerador entre el denominador el resultado es igual en ambas fracciones.
                     
            b) Comparando si son iguales los productos cruzados.
Cómo obtener fracciones equivalentes.

a) Por amplificación: Multiplicando a los dos términos de la fracción por un mismo número.
              
b) Por simplificación: Dividiendo, si se puede, a los dos términos de la fracción por un mismo número.
   
            Si una fracción no se puede simplificar se llama IRREDUCIBLE.

[Propiedad fundamental: si a los dos términos de una fracción se les multiplica o divide por un mismo número resulta una fracción equivalente].

Reducir fracciones a común denominador: Se trata de obtener fracciones equivalentes a las primeras, cuyos denominadores sean el mínimo común múltiplo de los denominadores y los numeradores se obtengan dividiendo el denominador común entre cada denominador y multiplicando el  resultado por el numerador correspondiente.
    
            La reducción de fracciones a común denominador se utiliza  para comparar fracciones y para sumarlas y restarlas.

Comparar fracciones:

a) Fracciones con el mismo denominador: Es mayor la que tenga mayor numerador.
b) Fracciones con el mismo numerador: Es mayor la que tenga menor denominador.


c) Fracciones con distinto denominador: Se reducen a común denominador y será mayor aquella cuya fracción equivalente tenga mayor numerador.

Sumar y restar fracciones:
            Para sumar o restar fracciones se reducen a común denominador, hallando el mcm de los denominadores, dividiendo éste (el mcm) entre los denominadores iniciales y multiplicando cada cociente por el correspondiente numerador. El resultado es una fracción cuyo numerador es la suma o resta de los numeradores obtenidos y cuyo denominador es el mcm de los denominadores.


            El resultado final siempre se simplifica, si se puede dividir al numerador y al denominador por un mismo número hasta obtener la fracción irreducible.

            Si hay que sumar o restar una fracción con un entero, se considera al entero como una fracción con denominador 1.

Producto de fracciones:
           
Es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.
                            
División de fracciones:
           
Para dividir fracciones se multiplica la primera (dividendo) por la inversa de la segunda (divisor).


El resultado final siempre se simplifica si se puede dividir al numerador y al denominador por un mismo número.


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DE ESO. TEMA 5: LOS NÚMEROS DECIMALES

PROGRAMACIÓN

Ses.

Metodología

/
/
- Explicar concepto de decimales y significado de las cifras.
- Los decimales en la recta numérica.
- Explicar tipos de números decimales.
- Ejercicios pág. 89 (1 a 8).
/

- Corregir sesión anterior
- Explicar suma y resta de decimales.
- Ejercicios pág. 91 (9 y 10), pág. 96 (42 y 43).
/
- Corregir sesión anterior.
- Explicar multiplicación de decimales.
- Ejercicios pág. 91 (11 a 16).
/
- Corregir sesión anterior
- Explicar división de decimales
- Ejerc. pág. 93 (17 a 25).
/

- Corregir sesión anterior.
- Explicar redondeo y problemas.
- Ejerc. pág. 95 (26 a 32).
/
- Corregir ejercicios de la sesión anterior.
- Estudiar.
/
- CONTROL


DESARROLLO DEL TEMA

TEMA 5: LOS NÚMEROS DECIMALES

            Un número decimal consta de dos partes separadas por una coma: la parte entera a la izquierda y la parte decimal a la derecha. La parte decimal representa cantidades más pequeñas que la unidad.

            Cada unidad (lugar, cifra) decimal se obtiene dividiendo la unidad entera en 10 partes iguales (décimas), 100 partes iguales (centésimas), 1000 partes iguales (milésimas), etc.
           
                        Um      C         D         U         d          c          m
                        2          5          3          8,         6          4          3


UM
Cm
Dm
Um
C
D
U
d
c
m
Unidad
de millón
Centena
de millar
Decena
de millar
Unidad
de millar
Centena
Decena
Unidad
décima
centésima
milésima

 
            Cada unidad equivale a 10 unidades inferiores situadas inmediatamente a la derecha.
1U = 10d, 1d = 10c, 1c = 10m,…

[Si se quiere transformar una unidad en otra de la derecha se la multiplica por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya que recorrer de una unidad a otra. Si pretendemos transformar una unidad en otra que esté a la izquierda se la divide por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya que recorrer de una unidad a otra.]
            1 U = 10 d      1 d = 10 c       1 c = 10 m       1 U = 100 c     1 d = 0,1 U     1 c  0,01 U
            1 m = 0,01 d   1 m = 0,001 U

Representar números decimales en la recta numérica: Para representar las décimas se dividen los espacios entre números enteros en 10 partes iguales. Si hubiera que representar centésimas, se dividirían los espacios entre enteros en 100 partes iguales (o los espacios entre décimas en 10 partes iguales). De forma similar se procedería con las milésimas y sucesivos órdenes de unidades decimales.
 


Clases de números decimales
 Paso de un decimal exacto a fracción: Para transformar un decimal exacto en una fracción se coloca como numerador el número decimal sin la coma y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya. El resultado hay que darlo en forma de fracción irreducible.
 

Suma y resta de números decimales: Para sumar o restar números decimales se colocan uno debajo de otro, de tal forma que coincidan las comas, con lo que coincidirán también los distintos órdenes de unidades (unidades con unidades, décimas con décimas, etc). Se suman o restan, empezando por la derecha, como si fueran números naturales, sin olvidarnos de escribir la coma cuando lleguemos a ella.  
            Ej.: 37,85 + 6,934 = 44,784


             En la resta, si el número de cifras decimales del minuendo (el de arriba) fuera menor que el de las del sustraendo, se añaden los ceros necesarios hasta igualar el número de cifras. (¡Ojo! con estos ceros del minuendo, no nos olvidemos de tratarlos como dieces.)
             Ej.: 37,85 - 6,934 = 30,916

            Si en una resta el minuendo es menor que el sustraendo, se le resta al sustraendo el minuendo y al resultado se le antepone el signo menos (recuerda que para sumar números enteros de distinto signo se restan sus valores absolutos y se pone el signo del que tenga el mayor valor absoluto).
            Ej.: 6,934 – 37,85 = - 30,916

Multiplicación de números decimales: Para multiplicar números decimales se colocan las cantidades una debajo de la otra, de tal forma que estén alineadas por la derecha. Se multiplican como si fueran números naturales y en el resultado se separan por la derecha con la coma tantos números como cifras decimales sumen entre el multiplicando y el multiplicador.
            Ej.: 237,8 • 6,09 = 1448,202  


¿Cómo se multiplica un número por la unidad seguida de ceros? Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros se recorre la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen a la unidad y si no hubiere cifras suficientes se añaden los ceros necesarios.
3,78•10 = 3,78                       0,6•100 = 60

División de números decimales:
a) Sacar decimales: Cuando se han terminado de dividir todas las cifras enteras del dividendo se baja un cero, se pone una coma en el cociente y se continúa dividiendo. (Sólo pediremos dos decimales)
            Ej.: 94001 : 216 = 435,18
                                                          
b) Decimales en el Dividendo: Se divide como si se tratara de números naturales y cuando se baje la primera cifra decimal se pone una coma en el cociente y se continúa dividiendo.
            Ej.: 6529,19 : 53 = 123,19
                                                          
c) Decimales en el divisor o en ambos términos (Dividendo y divisor): Quitamos los decimales del divisor multiplicándolo por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya en el divisor. Para que el cociente no varíe hemos de multiplicar al Dividendo por lo mismo que al divisor. [¡Ojo!, el resto sí varía: queda multiplicado por lo que hayamos multiplicado al Dividendo].
            Ej.: 367,47 : 8,7 = 42,23
 
                                                          
¿Cómo se divide un número por la unidad seguida de ceros?: Para dividir un número por la unidad seguida de ceros se recorre la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a la unidad y si no hubiere cifras suficientes se añaden los ceros necesarios. 6,9 : 100 = 0,069

Redondeo de números decimales: Si hay muchas cifras decimales y queremos suprimir algunas del final porque no aportan una información significativa, la última cifra decimal que dejemos se aumenta en uno si le seguía una cifra mayor que 4.
            Ej.: 37,59487, redondeando a las décimas se queda en 37,6
            Ej.: 4,87461, redondeando a las centésimas se queda en 4,87


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DE ESO. TEMA 6: POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA

PROGRAMACIÓN

Ses.

Metodología

/
- Entregar control del tema anterior.
- Explicar conceptos básicos sobre potencias.
- Ejercicios: Pág. 107 (1 a 11).
/
- Corregir sesión anterior.
- Explicar producto y cociente de potencias de la misma base y potencia de una potencia.
- Ejercicios: Pág. 109 (13 y 18). Pág. 114 (41 y 42).
/
- Corregir sesión anterior.
- Explicar potencia de un producto, potencia de un cociente y casos especiales.
- Ejercicios: Pág. 109 (12, 14, 15, 16 y 17).
/
- Corregir sesión anterior.
- Explicar conceptos básicos sobre la raíz cuadrada.
- Ejercicios: Pág. 111 (19, 20, 21, 23 y 24).
/
- Corregir sesión anterior.
- Explicar procedimiento para el cálculo de la raíz cuadrada.
- Ejercicios: Pág. 113 (26 a 31).
/
- Corregir sesión anterior.
- Repasar.
/
- Control.



DESARROLLO DEL TEMA

TEMA 6: POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA

Potencia: Una potencia es un producto de factores iguales.
3 • 3 • 3 • 3 = 34
            - El 3 es la base: nº que se multiplica por sí mismo tantas veces como indica el exponente.
            - El 4 es el exponente: nº que indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma.

            (Al leer potencias, distinguir entre cuadrado y cubo. Le cuesta mucho a los alumnos).

Cuadrado perfecto: Es el número que resulta de elevar al cuadrado un número natural. Los cuadrados perfectos son: 0, 1, 4, 9, 16, 25, etc.

Cubo perfecto: Es el número que resulta de elevar al cubo un número natural. Los cubos perfectos son: 0, 1, 8, 27, 64, 125, etc.

Potencias de 10: Son las potencias cuya base es 10 y el exponente es un número entero. Una potencia de 10 es igual a 1 seguido de tantos ceros como indique el exponente. 103 = 1000.

Notación científica: Cuando un número es muy grande o muy pequeño, en vez de escribirlo completo, se abrevia empleando la notación científica, que consiste en escribir un número decimal con una sola cifra no nula como parte entera y multiplicarlo por una potencia de 10 con exponente entero igual al número de cifras que se hayan separado con la coma.  738000000 = 7,38 • 108            0,00000031 = 3,1 • 10-7.

[De todas formas, la tendencia es a poner pocas cifras y a redondear. Por ejemplo, la velocidad de la luz es de
299 792 458 m/s y en todos los manuales ponen 300 000 km/s ó 300 000 000 m/s y, en notación científica, 3•10-8 m/s. Si la finalidad de la notación científica es la de simplificar una gran cantidad de dígitos, parece lógico que tampoco tenga sentido poner una gran cantidad de cifras decimales].

Signo de una potencia:
a) Si la base es positiva: el resultado siempre es positivo.

            34 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81

b) Si la base es negativa: el signo del resultado depende de si el exponente es par o impar:
            - exponente par: resultado positivo.

                        (-3)4 = (-3) • (-3) • (-3) • (-3) = 81

            - exponente impar: resultado negativo.

                        (-2)5 = (-2) • (-2) • (-2) • (-2) • (-2) = -32.

Operaciones con potencias:

a) Producto de potencias de la misma base (am • an): Es igual a otra potencia con la misma base y como exponente la suma de los exponentes.
34 • 32 = 36 
Explicación: 34 = 3 • 3 • 3 • 3;    32 = 3 • 3.
Por tanto: 34 • 32 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 36

b) Cociente de potencias de la misma base (am : an): Es igual a otra potencia con la misma base y como exponente la resta de los exponentes.


c) Potencia de una potencia [(am)n]: Es igual a otra potencia con la misma base y como exponente el producto de los exponentes.
(34)2 = 38 
Explicación: (34)2 = (34) • (34) = (3 • 3 • 3 • 3) • (3 • 3 • 3 • 3) = 38

d) Potencia de un producto [(a • b)n]: Es igual al producto de las potencias de los factores.
(3 • 4)2 = 32 • 42 
Explicación: (3 • 4)2 = (3 • 4) • (3 • 4) = 3 • 4 • 3 • 4 = 32 • 42

e) Potencia de un cociente [(a : b)n]: Es igual al cociente de la potencia del dividendo entre la potencia del divisor.

f) Casos especiales:
            - Potencia de exponente cero: Es siempre igual a 1. Por ejemplo: si dividimos a4 entre a4 lo podemos hacer de dos maneras:
                        - a4 : a4  (algo entre sí mismo) = 1
                        - a4 : a4 (restando exponentes) = a0
            Una división, aunque se haga de distintas maneras, siempre ha de dar el mismo resultado. Por lo tanto, los dos resultados son iguales:
a0 = 1 (a distinto de 0)

            - Potencia de base 10: es igual a 1 seguido de tantos ceros como indique el exponente.
                        104 = 10 • 10 • 10 • 10 = 10000

            - El cero elevado a cualquier potencia siempre es cero.
0n = 0, siendo n distinto de 0              03 = 0 • 0 • 0 = 0

            - El uno elevado a cualquier potencia siempre es uno.
1n = 1                                     13 = 1 • 1 • 1 = 1

            - Cualquier número elevado a la 1 es el mismo número (por eso el exponente 1 no se escribe).
a1 = a                                      41 = 4

Raíz cuadrada:

            Operación inversa de elevar al cuadrado.
            Hallar la raíz cuadrada de un número es encontrar otro número que multiplicado por sí mismo nos dé o nos acerque al primero. Ej.: La raíz cuadrada de 81 es 9, porque 9x9 es 81.

            Si un número tiene raíz cuadrada exacta se le llama cuadrado perfecto.

Términos de una raíz:

El signo parecido a la V se llama radical. El radical lleva un índice, que si es el 2, de raíz cuadrada, no se escribe. [Se cree que el signo del radical es una deformación de la letra r, letra utilizada antiguamente para indicar la raíz]
9: Se llama radicando.
3: Se llama raíz.
Cuando la raíz  no es exacta queda un resto. Ejemplo: En la raíz cuadrada de 10 el resto es 1.

Raíces de un número:
a)      Si el número es positivo, tiene dos raíces: una positiva y otra negativa
b)      Si el número es negativo, no tiene raíces reales
(No conocemos ningún número real que multiplicado por sí mismo nos dé -9)

c)      Si el número es cero, su raíz es una: el cero.

      Cálculo de la raíz cuadrada:

            Procedimiento para hallar la raíz cuadrada de un número
 
            1.- Se separan las cifras del radicando en grupos de dos empezando por la derecha
 
            2.- Se busca un número que multiplicado por sí mismo nos dé o nos acerque al primer grupo de la izquierda

            3.- Se multiplica el número obtenido por sí mismo y el resultado se resta del primer grupo de la izquierda

            4.- A continuación del resto se baja el siguiente grupo de dos cifras
 
            5.- Debajo de la raíz se pone su doble
 
            6.- A continuación del doble de la raíz se pone un cuadrito, el signo de multiplicar y otro cuadrito
 


            7.- Las cifras del radical, menos la última de la derecha, se dividen entre el doble de la raíz, colocando el resultado (que no puede ser superior a 9) en cada uno de los dos cuadritos
 
            8.- Se hace la multiplicación indicada en la zona de la derecha y el resultado se resta de la cantidad de la izquierda; si fuera mayor, se disminuye el número del cuadrito
 
            9.- El número del cuadrito se sube a la raíz
 
            10.- Si hubiera más cifras en el radicando, se va al paso 4º.

Prueba de la raíz cuadrada: El radicando es igual al cuadrado de la raíz más el resto. [Cada resto parcial tiene que ser menor o igual que el doble de cada raíz resultante].



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DE ESO. TEMA 7: SISTEMA MÉTRICO DECIMAL




Ses.

Metodología

/
- Explicar el concepto de magnitud, cantidad y medida.
- El Euro: monedas y billetes y relaciones entre ellos.
- Ejercicios pág. 125 (1 a 8).
/
- Corregir sesión anterior
- Las unidades de longitud: relaciones entre múltiplos y submúltiplos. Distancias astronómicas y distancias pequeñas.
- Ejercicios pág. 127 (9 a 13).
/
- Corregir sesión anterior
- Las unidades de masa y unidades de capacidad: relaciones entre múltiplos y submúltiplos
- Ejerc. pág. 129 (14 a 20).
/

- Corregir sesión anterior.
- Las unidades de superficie: relaciones entre múltiplos y submúltiplos.
- Ejerc. pág. 131 (21 a 24).
/
- Corregir ejercicios de la sesión anterior.
- Cantidades expresadas de forma compleja e incompleja.
- Unidades de volumen.
- Relaciones entre las medidas de masa, capacidad y volumen.
- Ejerc. pág. 134 (71 a 74 y 85 a 87).
/
- Corregir ejercicios de la sesión anterior.
- Estudiar y repasar.
/
- CONTROL



DESARROLLO DEL TEMA

TEMA 7: SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

Magnitud: Es todo aquello que se puede medir, por ejemplo, la longitud, el tiempo, la masa, etc.

Cantidad: Es el resultado de hacer una medición de una magnitud. Por ejemplo, 3 m, 5 s, 7 kg, etc.

Unidad: Es la cantidad de una magnitud con la que comparamos las demás cantidades. Así, por ejemplo, la unidad de longitud es el metro, la de tiempo es el segundo, etc.

Medir: Es comparar con la unidad para saber cuántas unidades hay en la magnitud que medimos. Por ejemplo, si una mesa mide 2 m de largo quiere decir que en esa longitud hay 2 unidades, o sea, 2 metros.

Magnitud dinero: La utilizamos para comprar y vender cosas. La unidad en España es el euro.

Euro: Es la moneda vigente en la mayoría de los países de la Unión Europea. Entró en vigor el 1 de enero de 2002 y su símbolo es € (letra épsilon griega cruzada por dos barras. La épsilon griega nos recuerda la cuna de la civilización europea y la primera letra de la palabra Europa. Los dos trazos paralelos que la atraviesan indican la estabilidad del euro. Los países que actualmente (enero2011) forman la eurozona son diecisiete: Alemania, Austria, Bélgica, Chipre, Eslovaquia, Eslovenia, España, Estonia (desde 1/1/11), Finlandia, Francia, Grecia, Irlanda, Italia, Luxemburgo, Malta, Países Bajos y Portugal).

Monedas y billetes de Euro: Las monedas son metálicas y de forma redonda. La cara donde está impresa la cantidad que representan es común para todos los países de la eurozona. La otra cara es propia de cada país. Representan cantidades de poco valor y son ocho: 1 céntimo, 2 céntimos, 5 céntimos, 10 céntimos, 20 céntimos, 50 céntimos, 1 euro y 2 euros. Un euro equivale a 100 céntimos.

            Los billetes son de papel, rectangulares, de diversos colores e iguales en todos los países de la eurozona. Representan cantidades de mayor valor que las monedas y son siete: 5 €, 10 €, 20 €, 50 €, 100 €, 200 € y 500 €.

Sistema métrico decimal: Se llama sistema porque es un conjunto de signos, unidades y normas que los rigen. Se dice que es métrico porque sirve para medir las magnitudes conocidas y se dice que es decimal porque cada uno de los diversos múltiplos y submúltiplos de las unidades principales equivale a 10 de los inmediatamente inferiores (de los que quedan a la derecha en la línea ordenada de los múltiplos y submúltiplos utilizados para medir las magnitudes).

Unidades de longitud

            La unidad principal para medir la magnitud longitudes es el metro. [Un metro se define como la distancia que recorre la luz en el vacío en 1/299 792 458 segundos. (Como curiosidad,  un segundo es la duración de 9 192 631 770 oscilaciones de la radiación emitida en la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del isótopo 133 del átomo de cesio (133Cs), a una temperatura de 0 K).[ Esta norma fue adoptada en 1983 cuando la velocidad de la luz en el vacío fue definida exactamente como 299 792 458 m/s].

Múltiplos y submúltiplos del metro:

km---- hm-----            dam-----m------dm-----cm-----mm
x 10                                                        : 10

Algunas equivalencias entre las unidades de longitud:

            1 dam = 10 m                                     1 dm = 0,1 m
            1 hm = 1 000 dm                               1 dm = 0,01 dam
            1 mam (miriámetro) = 10 000 m        1 mm = 0,1 cm

Otras unidades de longitud:

[Unidades astronómicas: Se utilizan para medir distancias astronómicas (distancias entre astros, distancias muy grandes)]
            a) Año luz: Distancia que recorre la luz en un año. [velocidad de la luz en el vacío: 299 792 458 m/s, declarada como constante en el Sistema Internacional de Unidades el 21/10/1983]
                        1 año luz = 300.000·365·24·60·60 = 9 460 800 000 000 = 9,4608 · 1012 km
            b) Unidad astronómica (UA): Distancia entre la Tierra y el Sol
                        1 UA = 149 600 000 km  150 000 000 km = 1,5 · 108 km

[Unidades muy pequeñas: Se utilizan para medir longitudes muy pequeñas, con aparatos muy especializados]
            a) Micra ( ): milésima parte de un milímetro.
                        1  = 0,001 mm = 0,000001 m
            [b) Milimicra (m  ): milésima parte de una micra.
                        1 m  = 0,001  = 0,000001 mm = 0,000000001 m ]

Unidades de capacidad

            La unidad principal para medir la magnitud capacidad es el litro.

Múltiplos y submúltiplos del litro:

kl------hl-----   dal-----l------dl-----cl-----ml
  x 10                                                    : 10


Unidades de masa

            La unidad principal para medir la magnitud masa es el kilogramo. [Por razones históricas, los múltiplos y submúltiplos de las unidades de masa están referidos al gramo (g)] [Un kilogramo se define como la masa del Kilogramo Patrón, cilindro (de diámetro = altura = 39,17 mm) compuesto de una aleación de platino-iridio (90 % de platino y 10 % de iridio) que se guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sevres, cerca de París. Actualmente es la única que se define por un objeto patrón.]

Múltiplos y submúltiplos del kilogramo:

t------q------mag------kg------hg------dag-----g------dg-----cg-----mg
x 10                                                                                           : 10
[Nota: Los múltiplos del kilogramo (t, tonelada, = 1000 kg, q, quintal, = 100 kg, mag, miriagramo, = 10 kg) , aunque bastante utilizados, sobre todo la tonelada, no están recogidos en el Sistema Internacional de Unidades, SI]

Unidades de superficie
            La superficie es el trozo de plano que ocupa una figura. El área es la medida de la superficie. [Ojito con estas definiciones, que pueden ocasionar más de un disgusto si se preguntan en un examen]

            La unidad principal para medir la magnitud superficie es el metro cuadrado, que es el área de un cuadrado de un metro de lado.



                                                          1 m


    
                                                                              1 m

¡OJO! Cada unidad de superficie equivale a 100 de la inmediata que le sigue.

Múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado:

            Km2------hm2-----dam2-----m2------dm2-----cm2-----mm2
                x 100                                                  : 100

Unidades agrarias de superficie:

            1 área (1 a) = 100 m2  (1 dam2)
1 hectárea (1 ha) = 100 a = 10.000 m2 (1 hm2)
            1 centiárea (1 ca) = 1 m2

Unidades de volumen

            La unidad principal para medir la magnitud volumen es el metro cúbico, que es el volumen ocupado por un cubo de 1 m de largo, 1 m de ancho y 1 m de alto.
                                                                                                            
                                              


                                                          1 m


                                                          1 m

                                                                      1 m


¡OJO! Cada unidad de volumen equivale a 1 000 de la inmediata que le sigue.

Múltiplos y submúltiplos del metro cúbico:

Km3------hm3-----dam3-----m3------dm3-----cm3-----mm3
x 1000                                                                : 1000



Relación entre las unidades de masa, capacidad y volumen:

1 kg (de agua) = 1 l  =  1 dm3

Formas compleja e incompleja de expresar cantidades:

a) Forma compleja: Una cantidad se expresa en forma compleja si se utilizan varias unidades.

2m 3dm 4cm

b) Forma incompleja: Una cantidad se expresa en forma incompleja si se utiliza una sola unidad.

2,34 m

            Para comparar y operar con cantidades complejas se transforman antes en incomplejas.

2m 3dm 4cm = 2 m + 0,3 m + 0,04 m = 2,34 m



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DESARROLLO DE LOS TEMAS  DE 2º DE ESO


DE ESO. TEMA 4: MEDIDAS DE ÁNGULOS Y DE TIEMPO


PROGRAMACIÓN


Sesiones

Metodología

2 ses
- Explicar conceptos teóricos sobre ángulos.
- Ejercicios: Pág. 71 (1 a 6.

- Corregir sesión anterior.
- Sumar y restar ángulos.
- Ejercicios: Pág. 73 (9ayb, 10ayb, 11ayb, 12).

- Corregir sesión anterior.
- Multiplicar y dividir ángulos por un número.
- Ejercicios: Pág. 73 (9cyd, 10cyd, 11cyd), pág. 78 (34).

- Corregir sesión anterior.
- Explicar conceptos teóricos sobre unidades de tiempo.
- Ejercicios: Pág. 75 (16 a 20).

- Corregir sesión anterior.
- Sumar y restar unidades de tiempo.
- Ejercicios: Pág. 77 (23ayb, 24ayb, 25ayb, 26).
- Corregir sesión anterior.
- Multiplicar y dividir unidades de tiempo por un número.
- Ejercicios: Pág. 77 (23cyd, 24cyd, 25cyd), pág. 78 (44).
- Corregir sesión anterior.
- Ejercicios de repaso: Pág. 79 (58 a 63).
- Corregir sesión anterior.
- Repaso y estudio.
- CONTROL


DESARROLLO DEL TEMA


TEMA 4: MEDIDA DE ÁNGULOS Y DE TIEMPO

Ángulo: Cada una de las cuatro regiones en que se divide al plano al trazar dos rectas secantes.
           
Unidades para medir ángulos: Grados, minutos y segundos.
            1 grado = 60 minutos               1º = 60’
            1 minuto = 60 segundos           1’ = 60”


Grado: amplitud del ángulo que resulta al dividir el ángulo recto en 90 partes iguales.

Las unidades para  medir ángulos y tiempo se rigen por el sistema sexagesimal en el que las unidades van de 60 en 60.

Instrumentos para medir ángulos: Transportador de ángulos o semicírculo graduado
Expresión compleja de un ángulo: Cuando utilizamos varias unidades. 37º25’42”
Expresión incompleja de un ángulo: Cuando utilizamos una sola unidad. 45º

            El grado se puede dividir en 60 minutos y el minuto, en 60 segundos, por lo que las unidades para medir ángulos constituyen un sistema sexagesimal. También se pueden emplear unidades inferiores al segundo, utilizando el sistema decimal de unidades, y así tendríamos las décimas, centésimas, milésimas, etc. de segundo.
            Ej.: 45º (45 grados);  30’ (30 minutos);  20’’ (20 segundos);  40,5’’ (40 segundos y 5 décimas de segundo)

[CURIOSIDADES SOBRE EL NOMBRE DE MINUTO Y SEGUNDO EN LAS UNIDADES ANGULARES:
Posiblemente, el nombre de minuto proceda del latín “minutus”, que significa pequeño, diminuto, que es como debían de ver al ángulo cuya amplitud era de 1/60 de grado. Al encontrar un trozo más pequeño todavía, o sea de 1/3600 de grado, lo llamaron segundo trozo pequeño, más pequeño todavía que el primero, y se quedó con el nombre de segundo con que lo conocemos actualmente.]

            Para medir ángulos se utiliza el transportador de ángulos o semicírculo graduado en 180º. Para medir ángulos hay que colocar el punto central del transportador en el vértice del ángulo y uno de los lados ha de pasar por el cero del transportador. Por donde pase el otro lado del ángulo nos indicará la medida del mismo.

Expresiones complejas e incomplejas de los ángulos: Decimos que la medida de un ángulo está expresada en forma compleja si viene dada en varias unidades, como, por ejemplo, 67º28’32’’. En el caso de que sólo utilicemos una unidad, estaremos expresando la medida en forma incompleja, como, por ejemplo, 82º.

Cómo pasar de forma compleja a incompleja:
a) Pasar a grados: Los segundos se pasan a minutos, dividiendo por 60, y sumamos el resultado con los minutos que haya en la cantidad compleja. Los minutos obtenidos se pasan a grados dividiendo entre 60 y sumamos el resultado con los grados de la cantidad compleja.
            Ej.: 67º 33’ 54’’             54’’/60 = 0,9’; 33’ + 0,9’ = 33,9’; 33,9/60 = 0,565º; 67,565º    

b) Pasar a segundos: Los grados se pasan a minutos multiplicando por 60 y sumamos el resultado con los minutos que haya. Los minutos obtenidos se pasan a segundos multiplicando por 60 y sumando el resultado con los segundos que hubiera.
            Ej.: 67º33’54’’              67º • 60 = 4020’; 4020’ + 33’ = 4053’; 4053’ • 60 = 243180’’; 243180’’ + 54 = 243234’’

Cómo pasar de forma incompleja a compleja:
a) De grados a forma compleja: Si los grados vienen dados en forma decimal (67,565º), se le resta la parte entera, que serán los grados (67,565º - 67º = 0,565º), y el resto se multiplica por 60 y se obtienen minutos (0,565º • 60 = 33,9’). Si el resultado todavía tuviera decimales, le restamos la parte entera, que serán los minutos (33,9’33’ = 0,9’), y el resto se multiplica por 60 para obtener los segundos (0,9’ • 60 = 54’’).
            Ej.: 67,565º             67,565 - 67º = 0,565; 0,565 • 60 = 33,9; 33,9 – 33’ = 0,9; 0,9 • 60 = 54’’.
                   67,565 º = 67º33’54’’
b) De segundos a forma compleja: La expresión incompleja se transforma en minutos dividiendo entre 60 y el resto serán los segundos de la forma compleja. Los minutos se transforman en grados dividiendo entre 60 y el resto serán los minutos de la forma compleja.
            Ej.: 34512’’                         34512’’ / 60 = 575’ (r = 12’’); 575’ / 60 = 9º (r = 35’)            Respuesta: 9º35’12’’

Suma de ángulos: Para sumar ángulos se suman por separado los segundos con los segundos, los minutos con los minutos y los grados con los grados. Si la cantidad resultante en los segundos o en los minutos es superior a 60, se transforma en la unidad superior dividiendo por 60.
            Ej.: 37º 45’ 26’’ + 25º 32’ 17’’ = 62º 77’ 43’’ = 63º 17’ 43’’

Resta de ángulos: Para restar ángulos se restan por separado los segundos de los segundos, los minutos de los minutos y los grados de los grados. Si las cantidades de los minuendos son inferiores a las de los sustraendos, se transforma una unidad de orden superior en 60 del orden inferior.
            Ej.: 37º 45’ 26’’ – 25º 32’ 53’’ = 37º 44’ 86’’ – 25º 32’ 53’’ = 12º 12’ 33’’


Multiplicar un ángulo por un número: Para multiplicar un ángulo por un número se multiplican por separado los segundos, los minutos y los grados por el número. Si la cantidad resultante en los segundos o en los minutos es superior a 60, se transforma en la unidad de orden superior dividiendo por 60.
            Ej.: 18º 26’ 32’’ • 3 = 54º 78’ 96’’ = 55º 19’ 36’’

Dividir un ángulo entre un número: Para dividir un ángulo entre un número, se dividen los grados entre el  número y el resto se transforma en minutos multiplicando por 60. El producto resultante se suma con los minutos que había y el resultado se divide entre el número. El resto que dé se transforma en segundos multiplicando por 60. El producto resultante se suma con los segundos que había y el resultado se divide entre el número.
            Ej.: 27º 35’ 46’’ : 4 = 6º 53’ 56’’ y resto 2’’

Unidades de tiempo: Para medir el tiempo se utilizan la hora (vigésima cuarta parte del día), el minuto (sexagésima parte de la hora) y el segundo (sexagésima parte del minuto). También constituyen un sistema sexagesimal, como las unidades para medir las amplitudes de los ángulos.

            La unidad principal de tiempo es el segundo, que se representa con s. El minuto se representa con min y la hora con h. ¡OJO! con los símbolos de segundo y minuto según se refieran a ángulos o a tiempo.

            Otras unidades para medir el tiempo: día (movimiento de rotación de la Tierra), semana (7 días), mes (28, 30 ó 31 días), año (movimiento de traslación de la Tierra), lustro (5 años), década (10 años), siglo (100 años).

            Por formar las unidades de medida del tiempo un sistema sexagesimal, las operaciones con ellas se rigen de igual manera que las operaciones con las unidades para medir las amplitudes de ángulos: Pasar de forma compleja a incompleja y viceversa, sumar  y restar unidades de tiempo y multiplicar y dividir por un número.

PREGUNTAS INGENIOSAS PARA ALUMNOS INTELIGENTES


Ángulo: Cada una de las cuatro regiones en que se divide al plano al trazar dos rectas secantes.
Para medir la amplitud de los ángulos se utiliza como unidad el grado, que es la amplitud del ángulo que resulta al dividir el ángulo recto en 90 partes iguales.

Pregunta: A la vista de estos dos párrafos, ¿cuál sería la definición de ángulo recto más apropiada?

Pregunta: ¿Por qué no sería lógico definir al ángulo recto como el ángulo que tiene 90º, teniendo en cuenta la definición de grado que hemos puesto aquí?



En un ejercicio sobre ángulos se dice: “Un ángulo agudo de un triángulo rectángulo mide 29º17’35’’. ¿Cuánto mide cada uno de los otros dos ángulos?”.
Pregunta: En el enunciado del problema, ¿qué palabra sobra?



























Pregunta: ¿Sabrías sumar mentalmente 37º 30’ + 22º 30’?

Pregunta: 37 grados y medio más 22 grados y medio, ¿cuántos “grados y medio” son?


Pregunta: ¿Cuál es el resultado de esta resta 37º45’36’’ – 58º14’28’’?

































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DE ESO. TEMAS 5 Y 6: PROPORCIONALIDAD Y PROBLEMAS

PROGRAMACIÓN

Ses.

Metodología

/
- Razones, proporciones y propiedad fundamental de las proporciones.
- Ejerc. pág. 89 (1 a 6).
/
- Corregir sesión anterior.
- Explicar magnitudes directamente proporcionales y regla de tres.
- Ejerc. pág. 96 (29 a 32).
/
- Corregir sesión anterior.
- Explicar magnitudes inversamente proporcionales y regla de tres inversa.
- Ejerc. Pág. 91 (7 a 11).
/
- Corregir sesión anterior.
- Explicar la propocionalidad compuesta.
- Ejerc. pág. 96 (38 a 41).
/
- Corregir sesión anterior.
- Explicar los porcentajes.
- Ejerc. pág. 93 (12 a 17).
/
- Corregir sesión anterior.
- Explicar aumentos y disminuciones porcentuales.
- Ejerc. 97 (62, 63 y 65), pág. 98 (80 y 88).
/
- Corregir sesión anterior.
- Explicar Interés simple.
- Ejerc. pág. 95 (21 a 24).
/
- Corregir sesión anterior.
- Explicar repartos directamente proporcionales.
- Ejerc. pág. 107 (1, 3 y 5).
/
- Corregir sesión anterior.
- Repaso y estudio.
10ª
/
- CONTROL.



DESARROLLO DEL TEMA


TEMA 5: PROPORCIONALIDAD Y TEMA 6: PROBLEMAS


Razón: Una razón es la división de dos cantidades y se representa en forma de fracción. Al numerador se le llama antecedente y al denominador, consecuente. (Nota: En una razón, tanto el antecedente como el consecuente pueden ser decimales; sin embargo, en una fracción tanto el numerador como el denominador son enteros).
Proporción: es la igualdad de dos razones.
                  (Lectura: 6 es a 3 como 4 es a 2).

Propiedades de las proporciones:
            a) Producto de medios igual a producto de extremos (propiedad fundamental).
            b) En una proporción, la suma de los antecedentes entre la suma de los consecuentes forma otra razón que está en proporción con las anteriores razones.

[Otras propiedades de las proporciones:
                c) Si cambiamos de lugar los extremos (el cuarto término lo colocamos el primero y el primero lo colocamos en el cuarto lugar) obtenemos otra proporción.
                d) Si cambiamos de lugar los medios (el segundo término lo colocamos el tercero, y el tercero lo colocamos el segundo) obtenemos otra proporción.
               e) Si invertimos los antecedentes y los consecuentes de una proporción, obtenemos otra proporción.
                f) Si a cada antecedente le sumamos o restamos su consecuente, obtenemos otra proporción.
               g) Si a cada consecuente le sumamos o restamos su antecedente, obtenemos otra proporción. ]
           
Cuarto proporcional: De los cuatro términos de una proporción, si se desconoce uno de ellos se le llama cuarto proporcional.
Para calcular el cuarto proporcional se utiliza la propiedad fundamental de las proporciones: 4 • x = 12 • 6. Para saber qué número multiplicado por 4 me da 72 tengo que dividir 72 entre 4. Por lo tanto:
Proporción continua: La que tiene sus medios o sus extremos iguales.
Medio proporcional: Es el término igual de una proporción continua.  
Para calcular el medio proporcional se utiliza la propiedad fundamental de
 las proporciones:
  [A la proporción que tiene los cuatro términos distintos se le suele llamar proporción discreta]
Magnitudes directamente proporcionales: Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar o disminuir una, la otra aumenta o disminuye en la misma proporción. Ej.: Las manzanas y el coste de las mismas. Si aumentamos el peso de las manzanas, aumenta también el valor de las mismas. Podemos construir una tabla de valores:
 

            La relación que hay entre los elementos de una magnitud y los de la otra se llama razón de proporcionalidad y se indica mediante un cociente:   r = 2/3. [Quiere decir que si de una magnitud hay 2 unidades, de la otra hay 3. Ejemplo: Si en una clase de 60 alumnos, 40 son de Madrid, los alumnos madrileños están a razón de 2 a 3, es decir, de 2/3 (40/60 = 2/3)]. Los cocientes entre los elementos de una magnitud y los de la otra son iguales, por lo que forman una proporción y el valor de la razón de proporcionalidad se llama constante de proporcionalidad.


REGLA DE TRES

            Hay tres datos conocidos y uno desconocido que hay que hallar.
            Hay dos magnitudes relacionadas y directamente proporcionales (p. ej., peso y precio). De una se conocen dos datos y de la otra se conoce uno y se pregunta el otro.
            Los datos se colocan formando proporción y se trata de hallar el cuarto proporcional.
Problema de ejemplo: Si 4 kg de peras cuestan 7,2 €, ¿cuánto cuestan 7 kg?

                        PESO              PRECIO
                        4 kg                 7,2 €
                        7 kg                 x €
 

            Otro ejemplo: Si 4 kg de naranjas cuestan 8 €, ¿cuántos kg puedo comprar con 14 €?

                        PESO              PRECIO
                        4 kg                 8 €
                        x kg                 14 €
 
Magnitudes inversamente proporcionales: Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una disminuye la otra o cuando al disminuir una aumenta la otra. Ej.: Nº de personas y nº de días que les dura una caja de peras: si aumentamos el número de personas, disminuye el número de días. Podemos construir una tabla de valores:
 
            La constante de proporcionalidad inversa es el producto de los elementos de una magnitud por los de la otra. Este producto ha de ser siempre igual.

Regla de tres inversa: Para calcular la regla de tres inversa se colocan los datos igual que en la directa, pero, al formar la proporción, una de las razones se invierte, siendo aconsejable invertir aquélla en la que no esté la incógnita.

Problema de ejemplo: Seis albañiles tardan 8 meses en realizar una obra. ¿Cuánto tardarían 2 albañiles? (Nota: Es aconsejable escribir una I mayúscula, de Inversa, entre las dos magnitudes relacionadas y rodearla con un círculo de color rojo)
                        ALBAÑILES     (I)     TIEMPO
                                   6                      8 meses
                                   2                      x meses


Otro ejemplo: Un grifo echa 3 litros de agua por minuto y tarda 5 minutos en llenar un cubo. ¿Cuánto tardaría en llenar ese mismo cubo si vertiera 5 litros por minuto? (Es fácil comprender que si sale más agua del grifo el cubo tardará menos en llenarse, luego se trata de una regla de tres inversa, porque cuando aumenta una magnitud la otra disminuye).
            LITROS         (I)        TIEMPO
                        3 litros                        5 min
                        5 litros                        x
 
  Regla de tres compuesta: Se llama regla de tres compuesta cuando intervienen más de dos magnitudes y hay que hallar un dato de alguna de ellas. Para formar la proporción hay que proceder como si sólo hubiera dos magnitudes: una la de la incógnita y la otra la forman las demás, multiplicando sus razones de proporcionalidad. Si alguna de las magnitudes es inversa con respecto a la incógnita habrá que poner su razón inversa.
Ejemplo: Para mantener 6 caballos durante 20 días se necesitan 1.100 kg de heno. ¿Cuántos caballos se alimentarán con 4.950 kg durante 60 días?
                                       (I)
            CABALLOS   DÍAS   HENO
            6                      20        1100
            x                      60        4950
[Para saber cuál de las magnitudes es inversa o directa nos podemos preguntar cómo se comporta cada una con respecto a la magnitud que tiene la incógnita. Así, por ejemplo, en este problema nos podemos preguntar: Si el número de caballos aumenta (magnitud donde está la incógnita), ¿tendrán comida para más días o para menos días? Es evidente que con la misma cantidad de comida tendrán para menos días si el número de caballos aumenta, luego la  magnitud Días es inversa con respecto a la magnitud número de Caballos. Una pregunta similar nos formularemos para saber cómo es la otra magnitud: Si aumenta el número de caballos, ¿tendrá que aumentar la comida? Es evidente que sí, por lo que la magnitud cantidad de Heno es directa con respecto a la magnitud número de Caballos]

[Fíjate en que no es necesario realizar las operaciones intermedias, porque estos ejercicios suelen ser muy apropiados para simplificar fracciones, con lo que se evitan operaciones tediosas con números elevados. En efecto, la fracción final tiene una fácil simplificación, sin necesidad de enredarse en multiplicaciones y divisiones.  Así, dividimos por 100 en el numerador y en el denominador, con lo que nos queda 6 • 2 • 495 en el numerador y 6 • 110 en el denominador. Ahora dividimos por 6 en ambos términos, con lo que nos queda: 2 • 495 en el numerador y 110 en el denominador. Si simplificamos por 2 llegamos a 495 entre 55. Ahora, a simple vista, se observa que se puede simplificar por 5 y nos queda 99 en el numerador y 11 en el denominador. El resultado final ya es inmediato: 99 entre 11 da 9]


Porcentajes:

            El porcentaje significa cuántas partes corresponden a 100 unidades de algo. Hallar el porcentaje de una cantidad es calcular cuántas partes le corresponden a esa cantidad sabiendo que si la cantidad fuera 100 le correspondería el porcentaje indicado. Así, por ejemplo, hallar el 8 % de 420, es calcular cuántas partes hay que tomar de 420, sabiendo que si hubiera 100 tomaríamos 8.

Cálculo de porcentajes:

a) El porcentaje como fracción: Para calcular el porcentaje de algo se opera como si fuera la fracción centésima de ese algo.
 
b) El porcentaje como regla de tres: Si consideramos el porcentaje como una regla de tres, ponemos dos columnas y dos filas y colocamos en el lugar apropiado los datos que nos den, teniendo en cuenta que una de las filas necesariamente ha de estar ocupada por los datos del porcentaje. (Así, si hablamos del 6 %,  en una columna irá el 6 y en otra irá el 100, pero ambos, el 6 y el 100, irán en la misma fila. Si lo que me preguntaran fuera el tanto por ciento, en una columna pondríamos x y en la otra 100, pero ambos, x y 100, irían en la misma fila).

Ejemplo 1: Al comprar un frigorífico de 350 € me descuentan el 6%. ¿Cuánto me descuentan?

PRECIO         DESCUENTO           (Interpretación)
100                             6          (Si costara 100 €, me descontarían 6 €)
350                             x          (Como cuesta 350 €, me descontarán x)
 
Ejemplo 2: En una clase de 24 alumnos han aprobado el control de matemáticas 18 alumnos. ¿Qué % ha aprobado y qué % ha suspendido?

ALUMNOS   APROBADOS          (Interpretación)
24                    18                    (De 24 alumnos aprueban 18)
100                  x                      (De 100 alumnos aprobarán x)
 
[Resolución por ecuaciones:
Ejemplo 3 (Calcular una cantidad conociendo el porcentaje): En una clase hay 4 alumnos segovianos, lo que supone el 16 % del total. ¿Cuántos alumnos hay en esa clase?

TOTAL           SEGOVIANOS         (Interpretación)
100                  16                    (Si fueran 100 alumnos, 16 serían segovianos)
  x                   4                      (El total es x y los segovianos son 4)
 
[Resolución por ecuaciones:
Aumentos porcentuales:
Ejemplo: Un frigorífico de 430 € lo han subido el 10 %. ¿Cuánto cuesta ahora?
a) Resolución por fracciones: Se calcula el porcentaje de aumento y se suma a la cantidad inicial:
b) Resolución por regla de tres (Si algo aumenta el 10 % quiere decir que si costaba 100 ahora costará 110):
Antes  Ahora              (Interpretación)
430      x          (Lo que antes costaba 430 €, ahora cuesta x €)
100      110      (Lo que antes costaba 100, al subir el 10 % costará 110)
 

c) Resolución por ecuaciones: Se plantea la ecuación según los datos que nos hayan dado.
Otro ejemplo: Un frigorífico me ha costado 424 € después de haber subido el 6 %. ¿Cuánto costaba antes de la subida?
a) Resolución por regla de tres:
Antes              Ahora              (Interpretación)
   x                   424      (Lo que ahora cuesta 424 €, antes costaba x €)
 100                 106      (Lo que antes costaba 100 €, si sube el 6 % cuesta 106 €)
 

b) Resolución por ecuaciones:


Disminuciones porcentuales:
Ejemplo: Un frigorífico de 430 € lo han rebajado el 10 %. ¿Cuánto cuesta ahora?
a) Resolución por fracciones: Se calcula el porcentaje de descuento y se resta a la cantidad inicial:


b) Resolución por regla de tres (Si algo disminuye el 10 % quiere decir que si costaba 100 ahora costará 90):
Antes  Ahora              (Interpretación)
430      x          (Lo que antes costaba 430 €, ahora costará x €)
100      90        (Lo que antes costaba 100 €, al bajar el 10 % costará 90 €)


c) Resolución por ecuaciones:
Otro ejemplo: Un frigorífico me ha costado 380 € después de haber bajado el 5 %. ¿Cuánto costaba antes de la rebaja?
a) Resolución por regla de tres:
Antes              Ahora              (Interpretación)
   x                   380      (Lo que ahora cuesta 380 €, no sé lo que costaba antes)
 100                 95        (Lo que antes costaba 100 €, al bajar el 5 % costará 95 €)
 
b) Resolución por ecuaciones:
[Porcentajes con la calculadora: Para calcular porcentajes existe una tecla específica en la calculadora, pero se pueden calcular directamente de la siguiente manera:
a) Porcentajes: Se multiplica la cantidad por la fracción centésima del tanto por ciento.
                3 % de 40  =  40 • 0,03 = 1,2
b) Aumentos y disminuciones porcentuales: Se multiplica la cantidad por 1 más (aumentos) o menos (disminuciones) la fracción centésima del tanto por ciento.
                ¿Cuánto cuesta un móvil de 60 € que lo han subido un 5 %?
                                60 • 1,05 = 63 €.
                ¿Cuánto cuesta un móvil de 60 € que lo han rebajado un 5 %?
                               60 • 0,95 = 57 €. ]

Interés: Dinero que dan los bancos en compensación por tener depositados en ellos tus ahorros.
I = Interés (dinero que da el banco al final de un tiempo)
C = Capital (dinero que se deposita en el banco)
r = rédito (dinero, en forma de porcentaje, que da el banco durante un año. En lenguaje ordinario se le llama interés)
t = tiempo (en años).

Ejemplo: ¿Qué interés (I) me producen 50000 € (C) colocados a un 8 % (r) durante 5 años (t)? Resolvemos este problema por una regla de tres compuesta:

INTERÉS       CAPITAL      TIEMPO         (Interpretación)
8                      100                  1          (100 € en 1 año dan 8 € de interés)
I                      50000              5          (50000 € producirán I € durante 5 años)
 
De aquí se deduce la fórmula general del Interés:
 

Si el tiempo viniera dado en meses,
 
Si el tiempo viniera expresado en días,

(Hoy día, con los ordenadores, los bancos ponen como denominador 36500, porque los años tienen 365 días y no 360, como se hacía antes quizás para facilitar los cálculos; incluso, si el año es bisiesto, ponen como denominador 36600).


Repartos directamente proporcionales: Hacer un reparto directamente proporcional consiste en repartir algo en proporción directa a unas cantidades determinadas. Por ejemplo: repartir proporcionalmente 3000 € entre dos personas, A y B, según los días que hayan trabajado.

Lo resolvemos por reducción a la unidad:

- A ha trabajado 6 días y B, 4 días
- Días trabajados: 6 + 4 = 10
- Lo que se reparte: 3000 €
- Lo que corresponde a una parte (un día): 3000 : 10 = 300 €
- Lo que corresponde a A (6 días): 300 • 6 = 1800 €
- Lo que corresponde a B (4 días): 300 • 4 = 1200 €

[Resolución de los repartos proporcionales por proporciones:
Se forma una proporción entre lo que corresponde a cada perceptor (x, y, z...) y las partes (nº de días, años, etc.) que cada uno acredite. Así, en el ejemplo anterior tendríamos:
                . Lo que corresponde a A: x
                . Lo que corresponde a B: y
                . Partes (días) que acredita A: a (a = 6)
                . Partes (días) que acredita B: b (b = 4)
                . Suma de lo que corresponde a cada uno: x + y = 30000
                . Suma de las partes (días) que acredita cada uno: a + b = 10
                . Proporción: 
               De aquí operamos con la proporción formada por la segunda y tercera razón:
Para calcular x podemos hacerlo de dos maneras: la más fácil es restar 30000 – 12000 = 18000 €. La segunda manera es formar una proporción con la primera y segunda razón o con la primera y la tercera razón, llegando en ambos casos a que x = 18000 €].

PREGUNTAS INGENIOSAS PARA ALUMNOS INTELIGENTES







Proporción: es la igualdad de dos razones.
El 6 y el 2 se llaman extremos y el 3 y el 4, medios.
Pregunta: ¿Por qué crees tú que al 6 y al 2 se les llama extremos y al 3 y al 4, medios?











































En un examen de Matemáticas el profesor les pone a sus alumnos la siguiente cuestión: Calcula el medio proporcional de esta proporción continua:
 =
Laura, una de las mejores alumnas de la clase, ha dado la siguiente respuesta: x = 6. Cuando el profesor les entrega el examen corregido, ella observa que en esta pregunta le ha puesto un 0,75 en lugar de 1, como ella esperaba. Como no está conforme ha ido a preguntárselo al profesor y éste le ha dicho que no es que esté mal, pero…
Pregunta: ¿Por qué el profesor no le ha puesto un punto en esta pregunta y se lo ha dejado en 0,75?


Pregunta: Decimos que el medio proporcional es el término igual de una proporción continua. Si una proporción continua es aquélla que tiene los medios o los extremos iguales, ¿por qué nada más que hablamos de medio proporcional y no de extremo proporcional? (Pista: piensa en alguna de las muchas propiedades de las proporciones).












Regla de tres inversa: En el libro de texto de 2º de la ESO de la Editorial Bruño proponen varios problemas geométricos que se resuelven por regla de tres inversa. Ejemplo: “El tablero de una mesa mide 120 cm de largo por 80 cm de ancho. Si se desea una mesa de 150 cm de largo y con la misma superficie, ¿cuánto debe medir de ancho?” Este problema se puede resolver con una regla de tres inversa, ya que si queremos mantener la misma superficie, al aumentar el largo tendrá que disminuir el ancho.
Un año que les puse este problema a mis alumnos todavía no habíamos visto la regla de tres inversa, pero sí las ecuaciones. Una alumna me dijo que ella lo había resuelto empleando una ecuación.
Pregunta: ¿Cómo lo hizo?












































































Aumentos y disminuciones porcentuales con calculadora: Para calcular con calculadora cuánto me costará algo que ha subido o disminuido, por ejemplo, un 8 % se multiplica la cantidad inicial por 1,08 (1 + 0,08), si ha aumentado, o por 0,92 (1 – 0,08) si ha disminuido.
Ejemplo: Un señor cobra 1300 € mensuales y le han subido un 8 %. ¿Cuánto cobrará ahora?
1300 • 1,08 = 1404 €
Ejemplo: Un vestido de 350 € lo han rebajado un 8 %. ¿Cuánto cuesta ahora?
350 • 0,92 = 322 €
Pregunta: ¿Sabrías explicar por qué para hallar la cantidad final en un aumento porcentual basta con multiplicar por 1 más la centésima parte del porcentaje? (Pista: prueba a calcular los aumentos y disminuciones porcentuales como una regla de tres).

Los problemas de porcentajes, de cualquier tipo, se pueden resolver perfectamente por ecuaciones, una vez que los alumnos saben operar con ecuaciones. De esta forma no es necesario colocarlos como una regla de tres. Por ejemplo: Los 18 alumnos que han aprobado el examen de Matemáticas representan el 60 % del total. ¿Cuántos alumnos hay en la clase?
Pregunta: ¿Sabrías resolver el problema empleando ecuaciones?







Pregunta: ¿Cuántos años han de pasar para que un capital invertido al 2 % sea igual a 5 veces el interés que haya producido?


Pregunta: ¿Cuántos años han de pasar para que un capital invertido al 2 % sea igual al interés que haya producido?


De vez en cuando salen ofertas en los supermercados como éstas: “3 x 2” (Llévese tres y pague dos). “Segunda unidad a mitad de precio” (comprando dos productos iguales, uno de ellos te cuesta la mitad). “Descuento del 70 % en la segunda unidad” (comprando dos productos iguales, te descuentan el 70 % en la segunda unidad).
Pregunta: Clasifica estas ofertas por orden de mayor a menor beneficio para el cliente.







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DE ESO. TEMA 7: POLINOMIOS

PROGRAMACIÓN DEL TEMA




Ses.

Metodología

/
- Explicar conceptos algebraicos y de monomios.
- Ejercicios pág. 129 (1 al 4).
/
¿2 Ses?
- Corregir sesión anterior.
- Sumar, resta, multiplicación y división de monomios.
- Ejercicios pág. 131 (8 a 11)
/
- Corregir sesión anterior.
- Explicar conceptos sobre polinomios.
- Ejercicios pág. 129 (5 a 7).
/
¿2 Ses?
- Corregir sesión anterior.
- Suma y resta de polinomios.
- Ejercicios pág. 133 (15 a 17).
/
- Corregir sesión anterior.
- Producto de polinomios (por un número y por un monomio).
- Ejerc. Pág. 131 (12 y 13), pág. 136 (42 y 44).
/
- Corregir sesión anterior.
- Producto de dos polinomios (depende del nivel de la clase).
- Ejerc. Pag. 133 (18 a 21).
/
- Corregir sesión anterior. (Continuar aquí)
- Extracción de factor común [depende del nivel de la clase].
- Ejerc. Pág. 131 (14), pág. 136 (45).
/
- Corregir sesión anterior.
- Explicar igualdades notables [depende del nivel de la clase].
- Ejerc. pág. 135 (23, 24, 25 y 27).
/
- Corregir sesión anterior.
- Explicar descomposición factorial de polinomios.
- Ejercicios pág. 135 (26 y 28), pág. 137 (63 y 64)
10ª
/
- Corregir sesión anteior.
- Estudio y repaso.
11ª
- CONTROL.



DESARROLLO DEL TEMA


TEMA 7: POLINOMIOS

Álgebra: Parte de las Matemáticas que nos enseña a operar con números y letras.

Expresión algebraica: Combinación de números y letras unidos por las operaciones +, -, •, :.

3x + 2a - 7b

            Una letra puede representar un número cualquiera. Si una letra está repetida en una expresión algebraica, siempre tiene el mismo valor en esa expresión.

            Si entre número y letra, o entre letra y letra, no hay ningún signo, se entiende que están multiplicando: 4x (4 por x) (se lee: cuatro equis).

Ejemplos de expresiones algebraicas para traducir el lenguaje ordinario:

            - Un número: x

            - Dos números: x, y

            - El doble de un número: 2x

            - El triple de un número: 3x

            - La mitad de un número: x/2

            - Cuántos años tendrá Pepe dentro de cinco años: x + 5

            - Un número par: 2x

            - Un número impar: 2x - 1

Algunas consideraciones importantes en las expresiones algebraicas:

            a) Para multiplicar un nº y una letra los números se colocan (excepto el 1, que no se pone) delante de las letras, sin el signo de multiplicar.

3x (y no x3).               x (y no 1x).

            b) Si en un problema hay dos cantidades desconocidas, se les asignan distintas letras.

            c) Los números que multiplican letras en una expresión algebraica se llaman coeficientes y las letras, parte literal.
3xy à 3 (coeficiente), xy(parte literal)

            d) Grado de una letra es el exponente al que está elevada esa letra.

                        3x2 + 5x – 2 à   3x2 (grado dos); 5x (grado uno); 2 (grado cero) (2x0).

      e) Si el valor de las letras se desconoce, se llaman incógnitas, (también se pueden llamar variables) y se utilizan las últimas del abecedario.
ax + b = c     x : incógnita

Monomio: Expresión algebraica formada por productos de números y letras.

a) 3x2      b) 5ab      c) 4      d) 3x + 5ab (esta expresión algebraica no es monomio)

Monomios semejantes: Son los que tienen la misma parte literal.

            3x      -7x                    5a2b      8a2b              6x      2ax  (no son semejantes)

Suma y resta de monomios:
            a) Han de tener la misma parte literal, es decir, han de ser semejantes.

            3x + 5x =                    4x2 - 6x2 = 
            3x + 4x2 = (No se pueden sumar, porque no tienen la misma parte literal)
            x2 - x + 4x2 + 3x =  (Sólo se suman los semejantes) 

            b) Se suma o se resta la parte numérica (coeficientes) y se deja la misma parte literal.

3x + 5x = 8x               4x2 - 6x2 = -2x2 

            3x + 4x2 = 3x + 4x2 (como no se pueden sumar, se deja indicada)

            x2 - x + 4x2 + 3x = 5x2 + 2x (se suman sólo los semejantes

            7b - 4b = 3b          4x – 3x = x          7a - 8a = -a          -6x + 6x = 0

Producto de monomios:
            Se multiplican los coeficientes y también la parte literal (recordamos que para multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes).

            3x5x2 = 15x3      4a5b = 20ab        3ab4b = 12ab2


División de monomios:
            Se dividen los coeficientes (si la división no es exacta, el resultado se deja en forma de fracción simplificada) y también se divide la parte literal (recordamos que para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes). (A veces conviene colocar la división en forma de fracción).

  Polinomio:


            Es la suma o resta indicada de monomios.

3x2 + 5y à binomio;  2x2 – 4x + 3 à trinomio;       6x3 – 3x2 + 4x – 2

            [En lo sucesivo, estudiaremos polinomios de una sola variable]

Términos de un polinomio:
Son cada uno de los monomios que lo forman. Si un monomio no tiene parte literal, o sea, es de grado cero, se llama término independiente.

            2x2 – 4x + 3  es un polinomio de tres términos, siendo 3 el término independiente.

Grado de un polinomio:
            El mayor de los grados de los monomios que lo forman.

 4x3 + 2x – 8 à 3º grado

Valor numérico de un polinomio:
Es el valor que toma el polinomio cuando sustituimos las letras por el valor que nos digan y realizamos las operaciones indicadas en el polinomio.

P(x) = 5x2 + 3x - 2

El valor de P(x) para x = 2 es:

P(2) = 5 • 22 + 3 • 2 – 2 = 5 • 4 + 6 – 2 = 20 + 6 – 2 = 24.

Suma de polinomios:
            Para sumar polinomios es aconsejable colocar uno debajo de otro, haciendo coincidir los monomios semejantes en la misma columna, y se suman los monomios semejantes. (Si falta algún grado en algún polinomio, se deja un espacio o se pone el monomio de ese grado con coeficiente cero).
            A = 6x4 – 3x2 + 5x – 2                       B = -2x4 + x3 – 3x + 1
 

A + B = 4x4 + x3 – 3x2 + 2x – 1

 Resta de polinomios :
            Para restar polinomios se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo. Para ello se cambian de signo todos los términos del segundo polinomio y se suma con el primero.

            A = 6x4 – 3x2 + 5x – 2                       B = -2x4 + x3 – 3x + 1
 
            A - B = 8x4 - x3 – 3x2 + 8x – 3

Producto de polinomios:
            Para multiplicar polinomios se multiplica cada término del multiplicador por todos los términos del multiplicando y luego se suman los monomios semejantes (Es aconsejable dejar huecos cuando falte algún grado en el multiplicando o en el multiplicador, para facilitar la colocación de los productos parciales).


Ejemplos:
a) Polinomio por un número:
            (4x3 – 5x2 + 6x – 3) • 3 = 12x3 – 15x2 + 18x – 9

b) Polinomio por un monomio:
            (4x3 – 5x2 + 6x – 3) • 2x = 8x4 – 10x3 + 12x2 – 6x

c) Polinomio por polinomio:
            (4x3 – 5x2 + 6x – 3) • (3x – 2) = 12x4 – 23x3 + 28x2 – 21x + 6
 


d) Otro ejemplo:
P(x) = 2x3 – 4x + 3;    Q(x) = 3x2 – 5x – 2  à P(x) • Q(x) = 6x5 - 10x4 – 16x3 + 29x2 – 7x - 6
 

Extracción de factor común: En una suma de monomios si cada uno de ellos está compuesto por varios factores y alguno de los mismos es común a varios sumandos, se puede extraer ese factor común y multiplicarlo por la suma de los monomios que han quedado. En realidad, se trata de aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma (cambiando la dirección, claro está). [Si nos fijamos bien, el procedimiento adecuado consiste en extraer el mcd de los sumandos.]

            a•b + a•c = a (b + c)

            3x + 3y = 3(x + y)

            2a + 4b = 2a + 2•2b = 2(a + 2b)

            4ab + 4b2 = 4ab + 4b•b = 4b(a + b)

            5x + 5xy = 5x(1 + y)    (¡Ojo con el 1!)

Igualdades notables:

a) Cuadrado de una suma (a + b)2: El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el cuadrado del segundo más dos veces el primero por el segundo. (*)

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
Explicación ® (a + b) 2 = (a + b)•(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + b2 + 2ab

b) Cuadrado de una resta (a – b)2: El cuadrado de una resta es igual al cuadrado del primero más el cuadrado del segundo menos dos veces el primero por el segundo. (*)

(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab
Explicación ® (a - b) 2 = (a - b)•(a - b) = a2 - ab - ba + b2 = a2 + b2 - 2ab

c) Suma por diferencia (a + b) • (a – b): Es igual a diferencia de cuadrados. (*)

(a + b)•(a – b) = a2 - b2
Explicación ® (a + b)•(a – b) = a2 - ab + ba - b2 = a2 - b2

[(*) Si en el examen del tema se pregunta por alguna de estas igualdades notables habrá que escribir la redacción, no basta sólo con la fórmula. Por lo tanto, se aconseja su estudio prácticamente al pie de la letra]

Descomposición factorial de un polinomio: Descomponer un polinomio en factores es encontrar un producto de factores cuyo resultado sea el polinomio original. Para ello, lo mejor es extraer factor común, si se puede, y descubrir si hay alguna igualdad notable directa o encubierta.

            3x2 + 6x = 3x(x + 2)                          16x2 – 24x + 9 = (4x – 3)2

[Estrategias para “ver” la descomposición factorial de un polinomio empleando igualdades notables: Tenemos que detectar si alguno de los términos es un cuadrado y, si es así, comprobar que hay un segundo término que también sea un cuadrado. Si tuviéramos dos términos que son cuadrados perfectos hay que ver si existe de alguna forma el “doble producto del primero por el segundo” de los números que originan esos cuadrados perfectos, en cuyo caso concluiríamos que se trata del cuadrado de una suma o de una resta. Si sólo hubiera dos términos cuadrados perfectos, y no se encontrara el “doble producto del primero por el segundo”, estaríamos ante la diferencia (comprobar que efectivamente es la diferencia) de cuadrados y los factores serían la suma por la diferencia de las raíces de los dos términos.]




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