2º ESO. Tema 8: ECUACIONES DE 1º GRADO




2º DE ESO. TEMA 8: ECUACIONES DE 1º GRADO

PROGRAMACIÓN DEL TEMA


Ses.

Metodología

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- Corregir ejercicios de la sesión anterior.
- Explicar el concepto de ecuación, elementos y nomenclatura.

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- Explicar ecuaciones equivalente y cómo obtenerlas.
- Resolver ecuaciones sencillas.
- Ejercicios 1 a 30 de la hoja fotocopiada.
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- Corregir sesión anterior

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- Corregir sesión anterior.
- Pasos para resolver una ecuación.
- Ejercicios 31 a 50 de la hoja fotocopiada.
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- Corregir sesión anterior.
- Ejercicios 51 a 60 de la hoja fotocopiada.
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- Corregir sesión anterior.
- Ejercicios: Pág. 149 (1 a 20).
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- Corregir sesión anterior.
- Ejercicios: Pág. 156 (62 a 100, sólos los pares).

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- Corregir sesión anterior.
- Resolución de problemas con ecuaciones.
- Ejercicios: Págs. 157 a 159 (Problemas: 148 a 150, 165, 173 a 177).
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- Corregir sesión anterior.
- Estudio y repaso.





DESARROLLO DEL TEMA


TEMA 8: ECUACIONES DE 1º GRADO

Ecuación: Una ecuación es una igualdad que se cumple para ciertos valores de las letras que intervienen en la ecuación.

2x + 1 = 7 (x = 3). 3x + 7 = 1 (x = -2).

Diferencia entre ecuación e identidad: Una identidad es una igualdad que se cumple siempre, sea cual sea el valor que se les de a las letras que forman las expresiones de la igualdad.

3a + 2a = 9a – 4a. (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy

Variables: Las letras que hay en una ecuación (también se llaman incógnitas y se emplean las últimas letras del abecedario, generalmente, x, y).

Coeficiente: Número que va delante de la incógnita y la multiplica (el 1 no se pone).

Grado de la ecuación: El mayor de la incógnita (el mayor exponente de la incógnita).

3x + 1 = 7 es de 1º grado. 2x2 - 3x = 5x + 2 es de 2º grado.

Miembros de una ecuación: Cada una de las expresiones que hay a cada lado de la igualdad.

3x + 1 = 2x + 5
1º miembro 2º miembro

Términos de una ecuación: Los sumandos que forman las ecuaciones.

3x + 1 = 2x + 5 (términos en x: 3x, 2x; términos independientes: 1, 5)

Ecuaciones equivalentes: Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución.

3x + 1 = 7 (x = 2) 4x – 3 = 5 (x = 2)

Obtención de ecuaciones equivalentes: Se obtiene una ecuación equivalente a otra sumando, restando, multiplicando o dividiendo a los dos miembros de la ecuación un mismo número.


Resolver ecuaciones: Es encontrar el valor de x que cumple la igualdad.

a ) Ecuaciones del tipo x + a = b (x + 3 = 7)

Se pasa la a al segundo miembro, cambiada de signo.

x + 3 = 7 x = 7 - 3 x = 4
x - 5 = 2 x = 2 + 5 x = 7
x + 6 = 2 x = 2 - 6 x = -4



b) Ecuaciones del tipo ax = b (3x = 6)

Se pasa la a al otro miembro dividiendo.

3x = 6 x = 6/3 x = 2
4x = 12 x = 12/4 x = 3
-2x = 8 x = 8/(-2) x = -4

c) Ecuaciones del tipo x/a = b (x/3 = 4)

Se pasa la a al otro miembro multiplicando.

x/3 = 4 x = 4 · 3 x = 12
x/2 = 7 x = 7 · 2 x = 14
-x/4 = 3 -x = 3 · 4 -x = 12 x = -12



MÉTODO PARA RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1.- Quitar denominadores multiplicando a todos los términos por el mcm de los denominadores que haya.

2.- Quitar paréntesis aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o resta (cuidado con los signos menos delante de los paréntesis).

9x – 12(x – 1) = 8x + 1 à 9x – 12x + 12 = 8x + 1

3.- Transponer términos semejantes pasando los términos en x al primer miembro y los independientes al segundo, cambiando de signo si se pasa de miembro. [No necesariamente las x han de pasar al primer miembro, también pueden ir al segundo y los independientes al primero, pero esto daría lugar a frecuentes equívocos al alumnado, sobre todo con los signos]

9x – 12x + 12 = 8x + 1 à 9x – 12x – 8x = 1 - 12

4.- Reducir términos semejantes realizando las sumas indicadas. [Aunque son sumas y restas, en definitiva son únicamente sumas, porque recordemos que la resta es sumar al minuendo el opuesto del sustraendo]

9x – 12x – 8x = 1 – 12 à -11x = -11

5.- Despejar la incógnita pasando el coeficiente de la misma al otro miembro como divisor.

6.- Realizar la división o, si no fuera exacta, simplificar si se puede. [No se acostumbra a dar respuestas con números decimales, sino con fracciones si la división no es exacta]

[NOTA: Lo remarcado de amarillo ha de aprenderse al pie de la letra, porque lo voy a preguntar a cero o a diez. Esto significa que si está igual te pongo un 10, pero si falta algo, te pongo un cero. Se trata, en definitiva, de ejercitar la memoria].

Ejercicios resueltos:
3x + 3 = -15 3x = -15 - 3 3x = -18 x = -18/3 x = -6.
2x - 3 = 3x - 7 2x - 3x = -7 + 3 -x = -4 x = -4/(-1) x = 4.



Resolución de Problemas con ecuaciones de 1º grado: En este curso utilizaremos ecuaciones de 1º grado para resolver problemas numéricos, de edades y geométricos.

a) Problemas numéricos: Son problemas en los que hay que hacer cálculos con sumas o restas de números, números consecutivos, números pares o impares, dobles, triples, etc. En este tipo de problemas uno de lo números siempre se identifica con x y los otros números se definen en función de los datos que haya en el problema.

Ejemplos:
- Si dos números suman 9, uno será x y el otro 9 – x.
- Si la diferencia de dos números es 4, uno será x y el otro 4 + x.
- Los números consecutivos se diferencian uno de otro en una unidad: si un número es x, su consecutivo será x + 1.
- Los números pares siempre son 2x y los impares pueden ser 2x – 1 o bien 2x + 1.
- El doble de un número es 2x, la mitad de un número es x/2.

Problema: Halla dos números consecutivos cuya suma es 87.

Es indispensable colocar los datos que nos han dado en una columna, a la izquierda, con el planteamiento de los datos en función de la x, de la incógnita.

nº 1: x = 43 x + x + 1 = 87; 2x + 1 = 87; 2x = 86; x = 86/2; x = 43.
nº 2: x +1 = 44

¡OJO! La respuesta muchas veces no es la x, sino que hay que calcularla en la columna de los datos del planteamiento del problema. Por ejemplo, en el problema anterior podíamos haber hecho un planteamiento de los datos de esta manera:

nº 1: x = 44
nº 2: x -1 = 43.
Solución: x + x - 1 = 87; 2x - 1 = 87; 2x = 88; x = 88/2; x = 44.

Como se aprecia, los dos números que nos han salido son iguales en los dos planteamientos, pero no así la x. De ahí la importancia de una buena asignación de datos y comprender que la respuesta no es la x, que en este caso no coincide en ambos planteamientos, sino que es el resultado de sustituir la x en el planteamiento de datos que hayamos hecho.

b) Problemas de edades: En este tipo de problemas suelen hacerse comparativas entre edades actuales y edades pasadas o futuras. La incógnita, x, habrá que asignarla a veces a alguna de las edades y otras veces al tiempo que haya pasado o que falte por transcurrir. Es fundamental considerar que el tiempo pasa igual para las dos personas que se comparen. Ayuda mucho realizar una tabla y escribir en las casillas correspondientes los datos en función de x. (Realizar la tabla)

Problema: Un padre tiene 28 años y su hijo, 7 años. ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que la edad del padre sea doble de la del hijo?

Solución: Aquí hemos de asignar la incógnita (x) al número de años que han de pasar. Colocamos los datos en una tabla como ésta:


Actual
Después
(tras x años)
Padre
28
28 + x
Hijo
7
7 + x


Planteamiento de la ecuación: Para plantear la ecuación cogemos la segunda columna de la tabla:

Tras x años, la edad del padre (28 + x) será (=) el doble de la del hijo [2(7 + x)]:

28 + x = 2(7 + x)

Resolvemos la ecuación y nos da que x ha de ser igual a 14 años.

c) Problemas geométricos: En los problemas geométricos se hace necesario un dibujo de la figura que nos pidan y asignar en él los datos que nos den, adjudicando la incógnita (x) al dato desconocido.

Problema: El perímetro de un rectángulo, cuya base es el doble de su altura, mide 18 cm. ¿Cuánto miden sus lados?

Solución: Dibujamos un rectángulo y ponemos en él los datos que nos han dado, que son:

- altura = x cm
- base = 2x cm
P = 2(x + 2x) > 18 = 2x + 4x > 18 = 6x > x = 3.

La respuesta es: La altura mide 3 cm y la base mide 6 cm

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